असमान भुजा के चतुर्भुज का क्षेत्रफल

30/10/2019

भवन बनवाने के लिए प्लॉट इत्यादि खरीदते समय कभी कभी असमान भुजाओं वाले प्लॉट खरीदने पड़ जाते हैं| जिनके क्षेत्रफल निकालने में प्रायः कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है और ठग लिए जाने कि सम्भावना बनती है| एक पाठक की माँग पर यहाँ एक ऐसे चौकोर प्लॉट का क्षेत्रफल निकालना बताया गया है जिसकी चारो भुजाएं असमान हैं| 

 

दिया गया चित्र इसी प्रकार का है| प्रायः मैंने लोगों को इसका क्षेत्रफल निम्नलिखित प्रकार का निकालते देखा है|

   

किन्तु यह तरीका पूर्णतया त्रुटिपूर्ण है| क्योंकि भुजाओं कि माप यही रहते हुए भिन्न भिन्न परिस्थितियों में ऐसी आकृतियों का क्षेत्रफल भिन्न भिन्न हो सकता है| अतः भुजाओं की अपेक्षा परिस्थिति बताएगी कि आपके प्लॉट का क्षेत्रफल कितना है| नीचे दिया गया चित्र देखें|

 

इस चित्र में भुजा AC को देखें| भुजा AC की माप 45 मीटर से कम कुछ भी हो सकती है| AC की माप पर ही इस आकृति का क्षेत्रफल निर्भर करेगा| स्पष्टतः इस आकृति में कोई भी कोण 90 अंश का नहीं होगा और क्षेत्रफल निकालने के लिए उसकी आवश्यकता भी नहीं है| इसके लिए हम विषमबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल निकालने कि विधि से त्रिभुज ADC व त्रिभुज ABC के क्षेत्रफलों को ज्ञात कर जोड़ देंगे तब यथार्थ क्षेत्रफल निकल आयेगा| ध्यान दें AC की माप जितनी कम या ज्यादा होगी उसी अनुरूप आकृति या भूमि का क्षेत्रफल भी कम ज्यादा हो जायेगा|

मान लें एक परिस्थिति में AC = 16 मीटर और दूसरी परिस्थिति में AC = 32 मीटर|

उपरोक्त में a, b व c किसी त्रिभुज की भुजायें हैं तथा

इस प्रकार दोनों परिस्थितियों में निकाले गये क्षेत्रफल में बहुत बड़ा अन्तर है| दोनों भूमिखंडों के क्षेत्रफल में वास्तव में अन्तर होगा जबकि परिमिति की भुजायें समान हैं| तो याद रखें असमान भुजा की आकृति में क्षेत्रफल भुजा के साथ साथ विकर्ण पर निर्भर करता है|

अब पाठक स्वयं समझ सकते हैं कि यदि लेख के आरम्भ में बताये अनुसार क्षेत्रफल निकाला जायेगा तो कितना गलत हो जायेगा|

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एक अच्छे एवं खूबसूरत मकान की ख्वाहिश किसे नहीं होती| आप अपनी सुविधा, सामर्थ्य एवं उपलब्धता के अनुसार प्लॉट खरीद कर एक अच्छा सा घर बनवा लेते हैं और उसमें आराम से रहने लगते हैं। लेकिन कभी गौर किया है कि चौकोर वर्गाकार या आयताकार प्लॉट बहुत कम मिल पाते हैं। यदि आप वर्गाकार या आयताकार क्रमशः चित्र 1 व चित्र 2 के अनुसार प्लॉट पर मकान बनवाये हैं तब तो ठीक है अन्यथा बहुत सम्भव है कि आपके प्लॉट का जो एरिया क्षेत्रफल आपको बताया गया है अथवा आपने जो बैनामा करवाया है उससे कम हो। कभी कभी प्लॉट काटने वाले इस बात को जानते हैं और कभी कभी नहीं भी। चूंकि आप अपनी गाढ़ी कमाई का पैसा खर्च कर रहे हैं तो आपके लिये अति आवश्यक है आप जो प्लॉट खरीद रहे हैं उसके सही क्षेत्रफल का ज्ञान आपको हो।

प्लॉट बेचने वाला आपको बता रहा है कि देखिये भाई साहब यहाँ पर सड़क तिरछी निकली है अतः प्लॉट तिरछे कटे हैं लेकिन लोकेशन बहुत बढ़िया है। यह जो तिरछे कटे प्लॉट हैं धीरे से आपकी जेब काट लेते हैं। उदाहरणस्वरूप आप एक प्लॉट खरीद रहे हैं जिसकी लम्बाई 80 फुट और चौड़ाई 50 फुट है तो इसका क्षेत्रफल होगा चित्र 2  की आकृति के अनुसार होने पर 80 * 50 = 4000 वर्ग फुट किन्तु यदि इसकी आकृति चित्र 3  के अनुसार है तब इस प्लॉट का क्षेत्रफल 4000  वर्ग फुट से कम होगा।अब प्रश्न यह है कि क्षेत्रफल कितना कम होगा तो यह निर्भर करेगा कि प्लॉट की किसी एक भुजा से दूसरी भुजा के मध्य लम्बवत दूरी कितनी है। यह लम्बवत दूरी चित्र 4 के अनुसार जैसे जैसे कोण C व कोण A का मान घटेगा और कोण D व B का मान बढ़ेगा घटती जायेगी या जैसे जैसे कोण C व A का मान बढ़ेगा तथा कोण D व कोण B का मान घटेगा बढ़ती जायेगी।

चित्र 3 व 4 के स्वरूप वाले प्लॉट का क्षेत्रफल सही रूप में इसी लम्बवत दूरी पर निर्भर करता है। ऐसी आकृतियाँ समान्तर चतुर्भुज कही जाती हैं। जिसका क्षेत्रफल निकालने का सूत्र इस प्रकार है।

क्षेत्रफल =आधार रेखा *लम्बवत दूरी

चित्र 4 के उदाहरण में प्लॉट ABC1D1 का क्षेत्रफल =  80*45 = 3600 वर्ग फुट

प्लॉट ABC2D2 का क्षेत्रफल=80*35=2800 वर्ग फुट

प्लॉट ABC3D3 का क्षेत्रफल =80*30=2400 वर्ग फुट

अब आप देखेंगे कि प्लॉट तिरछा होने पर प्लॉट विक्रेता सदैव भुजाओं AB व AD को गुणा करके क्षेत्रफल निकालेगा अगर आप स्वीकारते हैं तो चित्र 1 व 2  के अनुसार न होने पर आप को हानि अवश्य होगी कम या अधिक का प्रश्न अलग है।

प्लॉट जितना अधिक तिरछा होता जायेगा आपकी जेब पर डाका उतना अधिक पड़ता जायेगा। अतः भविष्य में जब कभी प्लॉट खरीदें तो आकृति 1 व 2 को प्राथमिकता प्रदान करें।आकृति 3 की स्थिति में क्षेत्रफल का सही आकलन कर सही मूल्य अदा करें।

अब आप कहेंगे कि यह तो बहुत से गणित जानने वाले जानते होंगे तो बन्धु हममे से बहुत से लोग गणित नहीं पढ़ते जो पढ़ते हैं भूल जाते हैं।जो लोग गणित जानते हैं उनमें से बहुत से सिद्ध नहीं कर पाते हैं कि आखिर प्लॉट का क्षेत्रफल कैसे हो जाता है। या लम्ब रेखा और आधार रेखा की गुणा क्यों करें\ साइड की सामने की रेखा की गुणा क्यों नहीं करें\ तो चित्र संख्या 5 का ध्यान से अवलोकन करें।

देखें प्लॉट विक्रेता के अनुसार क्षेत्रफल ADCB का क्षेत्रफल =AB*CB या AB* AD =80*50=4000  वर्ग फुट

अब आकृति के त्रिभुज ECB को उठाकर त्रिभुज GDA पर रखें तब जो आकृति तैयार होती है वह ABEG जिसकी लम्बाई AB = 80 फुट तथा चौड़ाई GA=  DF= EB =45  फुट तथा क्षेत्रफल = 80*45=3600  वर्ग फुट। यही वास्तविक क्षेत्रफल है आकृति ABCD का भी तथा आकृति ABEG का भी। क्योंकि त्रिभुज   ECB = त्रिभुज     GDA

आशा है हमारे इस लेख से पाठकगण लाभान्वित होंगे और भविष्य में ऐसे ही उपयोगी लेख लिखने के लिये प्रेरित करेंगे। आपकी कमेंट का इन्तजार रहेगा।